Menyelesaikan Program Linear Secara Manual

Dua produk diproses berangkai menggunakan 4 mesin. Waktu setiap mesin per hari tersedia 8 jam. Waktu proses produksi dan profit sebagai berikut:

PRODUK	MESIN 1	MESIN 2	MESIN 3	MESIN 4	PROFIT
1	100 menit	60 menit	80 menit	0 menit	Rp. 10.000
2.	50 menit	200 menit	150 menit	300 menit	Rp. 20.000

Hitung jumlah produksi optimal setiap jenis produk dan keuntungan totalnya!

Penyelesaian:

Pada kasus disebutkan waktu yang tersedia adalah 8 jam sedangkan proses produksi mesin menggunakan satuan menit sehingga perlu penyesuaian satuan waktu menjadi menit sehingga diperoleh angka 8 jam x 60 menit = 480 menit

Formulasi Linier Programming:

            Max Z    = 10.000 X1 + 20.000 X2

            Kendala  : 1. 100 X1 +  50 X2 ≤ 480

                             2.   60 X1 + 200 X2 ≤ 480

                             3.   80 X1 + 150 X2 ≤ 480

                             4.             300 X2 ≤ 480

                             5.           X1, X2 ≥ 0

Penyelesaian:

Membuat grafik :

1.      100 X1 +  50 X2 ≤ 480

ð  X₁=0, X₂=480/50

ð  X₂= 9,6

ð  X₂=0, X₁=480/100

ð  X₁= 4,8

2.      60 X1 + 200 X2 ≤ 480

ð  X₁=0, X₂=480/200

ð  X₂= 2,4

ð  X₂=0, X₁=480/60

ð  X₁= 8

3.      80 X1 + 150 X2 ≤ 480

ð  X₁=0, X₂=480/150

ð  X₂= 3,2

ð  X₂=0, X₁=480/80

ð  X₁= 6

4.      300 X2 ≤ 480

ð  X2=480/300

ð  X₂= 1,6

5.      X1, X2 ≥ 0

Grafik :

Kemudian kita tentukan titik perpotongan nya:

ü   

•              Titik A (Persamaan 1 &3)

 

Ø  100 X₁ +  50 X₂ ≤ 480   => 3  => 300 X₁ +  150 X₂ ≤ 1440  

Ø   80 X₁ + 150 X₂ ≤ 480   => 1  =>    80 X₁ + 150 X₂ ≤ 480      -

                                                              

 220 X₁ +        0    ≤ 960  

                       X₁   ≤ 4,36

Ø  100 X₁ +  50 X₂ ≤ 480 

Ø  100(4,36) +50 X₂ ≤ 480

Ø  50 X₂≤ 480-436

Ø  X₂ ≤ 0,88 maka, X₁=4,36 dan X₂= 0,88

ü                             Max Z    = 10.000 X1 + 20.000 X2

                            = 10.000 (4,36) + 20.000 (0,88)

= 43.600+ 17.600

= Rp. 61.200

         

• Titik B (Persamaan 2 &3) 

Ø  60 X₁ + 200 X₂ ≤ 480  => 3  => 180 X₁ + 600 X₂ ≤ 1440

Ø  80 X₁ + 150 X₂ ≤ 480   =>4  => 320 X₁ + 600 X₂ ≤ 1920   -

                                                   

     -140X₁ +  0       ≤ -480

  X₁ ≤ 3,4

Ø  60 X₁ + 200 X₂ ≤ 480  

Ø  60(3.4) + 200 X₂ ≤ 480

Ø  20.4 + 200 X₂ ≤ 480

Ø  200 X₂  ≤ 480-20.4

Ø  X₂  ≤  2,3 , maka X₁=3,4 dan X₂=2,3

ü                             Max Z    = 10.000 X1 + 20.000 X2

                            = 10.000 (3,4) + 20.000 (2,3)

= 34.000+ 46.000

                             = Rp. 80.000

• ü  Titik C (pers. 2 & 4)

 Ø  60 X1 + 200 X2 ≤ 480   => 3  180 X1 + 600 X2 ≤ 1440

 Ø                300 X2 ≤ 480   => 2                  600 X2 ≤   960   -

                                                     

                                                                      180 X1             ≤ 480

     X1 ≤ 2,66  

                       Ø  60 X₁ + 200 X₂ ≤ 480

                       Ø  60(2,66) + 200 X₂ ≤ 480

                       Ø  159,6 + 200 X₂ ≤ 480

                       Ø  200 X₂ ≤ 480-159,6

                       Ø  X₂ ≤ 1,6 , maka  X₁ =2,66 dan X₂ = 1,6

ü                                   Max Z    = 10.000 X1 + 20.000 X2

                            = 10.000 (2,66) + 20.000 (1,6)

= 26.600+ 32.000

= Rp. 58.600

v  Kesimpulan :

-        Mesin tersebut akan menghasil kan produk secara maksimal apabila X₁=3,4 dan X₂=2,3 maka akan menghasilkan profit sebanyak Rp.80.000,-

Selanjutnya adalah melakukan perhitungan nilai minimum dari soal tersebut, yang pertama adalah kita buat terlebih dahulu grafik nya dan menentukan titik minimun nya:

grafik:

 

Pada grafik di atas nilai Min berada pada titik pers (4&1), maka :

Ø  100 X1 +  50 X2 ≤ 480 =>  6   => 600 X1 + 300 X2 ≤ 2880

Ø                300 X2 ≤ 480 =>  1    =>                300 X2 ≤ 480    -

                 600 X1   ≤ 2400

                        X1   ≤ 4

                        Ø  100 X1 +  50 X2 ≤ 480

                        Ø  100(4) +  50 X2 ≤ 480

                        Ø  50 X2 ≤ 480-400

                        Ø  X2 ≤ 1,6

Maka, X1= 4 dan X2= 1,6

             Zmin = 10.000 X1 + 20.000 X2

= 10.000 (4) + 20.000 (1,6)

= 40.000+ 32.000

= Rp. 72.000

         

Kesimpulan :

-          Mesin tersebut akan menghasil kan produk secara min apabila X₁=4 dan X₂=1,6 maka  akan menghasilkan profit sebanyak Rp.72.000,-

penjelasan di atas merupakan cara yang dilakukan secara manual untuk menentukan besar nya nilai maksimum dan minimum dari sebuah persamaan linear.